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图示化解答数学问题的异质分析及其应用启示

分类:(三) 发表时间:2019-08-14

一、研究问题 视听教学开展以来, 海量多媒体视听材料得以开发、应用, 这源于对视听学习重要性的认识。然而, 在实际应用中, 视听材料能在学习中产生的效用并不简单地决定于用或不
一、研究问题
 
 
视听教学开展以来, 海量多媒体视听材料得以开发、应用, 这源于对视听学习重要性的认识。然而, 在实际应用中, 视听材料能在学习中产生的效用并不简单地决定于用或不用, 而在于所面向主体的特质、完成设计的理论指导、正确使用的方法与策略以及科学使用的依据等。当前视觉材料的多学科设计应用中缺少反馈, 自然地导致不能或无法对潜在的问题及难以观察的偏差进行后续研究。这也逐渐成为媒体理论应用与发展的瓶颈。
 
 
知识可视化表征有助于理解、习得与应用, 与其性质一致的图示一起, 可用于帮助学习者更好地学习、利用, 甚至创造知识。视觉思维的研究发现, 可视方式可以加速信息的输入与理解, 并具有检索功能[1];著名学者戴维·乔纳森也主张以可视化工具为手段, 辅助学习者在知识学习、问题解决、系统理解中建模, 帮助其进行认知模拟[2]。已有研究肯定了图示在学习中的诸多积极作用[3,4]。但整体上图示化、可视化设计及其学习应用的特点和规律, 在理论与实践上还需要更多探索。学习境脉中多源多元因素的作用是错综复杂的;可视化设计与应用的结果也不单纯由其特性决定。本研究以智慧技能类知识的图示化学习为研究背景, 通过分析了解学生的具体表现, 包括过程表现、结果差异、群组差异、个体差异, 揭示将图示为代表的可视化设计应用于学科知识学习中的技术效用。
 
 
智慧技能类知识是学习者形成智慧技能的基础性条件。它是个体通过使用符号保持与环境的接触的操作性技能, 属于“知如何”或“程序性”知识[5]。而数学知识就是其中的典型。按照加涅的智慧技能习得条件, 在智慧技能类知识图示化设计与应用中可以充分利用“拟象表征”和“解析表征”的过程类图示[6], 帮助学习者增强对数学概念内涵的理解和数学知识的迁移与应用[7]。本研究聚焦于图示应用对于不同水平学习者的影响, 以及此过程中不同水平学习者所存在问题及其程度。研究问题是: (1) 图示化知识学习对不同学习水平的学生有什么样的影响? (2) 偏低水平学习者在智慧技能知识学习中的弱点及其程度如何?
 
二、研究设计
 
(一) 参与者
 
 
研究主要面向13~15岁的青少年群体, 选取某初级中学二年级的27名学生进行。这些学生在最近的数学科目测试中成绩处于年级中上水平。研究得到学校教务负责人与授课教师的支持;实验所用材料及使用的调查工具已通过负责人和授课教师的审阅。
 
(二) 研究过程
 
 
研究意在利用图示方法[8]与图示材料帮助学生获得数学方程与函数知识, 并运用它们解答应用类数学问题。数学知识涉及初中二年级方程与函数知识。教学过程包括三个环节。 (1) 举例介绍用图示解答应用题目的基本过程和重要步骤。 (2) 使用设计的例子讲解如何使用图示分析并解答数学方程与函数应用题目。 (3) 用习题进行练习并及时指导。在每次授课之后都为学生安排练习。初期的重点是让学生了解图示化表征形式;之后则主要是讲授、课堂操练与课后练习的循环过程。所设计的图示化辅助材料主要有:图示化解答例题, 图示化解题案例集, 方程与函数知识图解, 常见情境概念关系图集, 方程与函数符号集。
 
 
教学过程跨越两个学期。由于初中数学课程内容包括交替进行的代数与几何两个部分, 方程与函数知识的学习与应用并不紧密连续;实际进行时间共约三个月。学生学习的目的是掌握数量、变化和关系, 并能初步运用它们解决实际问题。在方法应用与材料设计中, 充分考虑了知识可视化表征的“拟像”和“解析”两种形式, 以通过直观形象的、结构清晰的图像为学习提供有力支持[6]。
 
(三) 数据的收集与分析
 
 
研究的目的是要了解图示方式下学生掌握并应用智慧技能知识 (方程与函数) 的特点, 并了解学生在此过程中表现出来的弱点;其重点是揭示不同水平的学生在图示化学习智慧技能知识时的差异, 确定引差异的因子及程度。为此, 研究充分采用量化测评的手段和质性分析的方法。在数据收集方面, 充分考虑了图示应用的特点, 从学生图示化解答题目的过程与结果和学生对图解方法与材料的态度两个方面进行。
 
 
对图示作答的过程与结果, 研究进行了几个重要的探查。 (1) 了解学生图示化作答的表现与智慧技能知识学习结果之间的关系。 (2) 了解在图示化知识应用方面不同水平学生在哪些方面有差别。 (3) 不同水平学生组之间的图示化解题有多大差距。依据这些分析, 可以推敲在此过程中学生的学情差异、思维差别, 以及主要方面的相异程度。数据收集工作主要通过测试与问卷完成。其中测试成绩主要的数据包括:情境概念 (CO) 、概念关系 (CR) 、等量关系 (BR) 、数学表达式 (MF) 、解题成绩 (S) ;为了解学生对题目情境的理解, 以这些数据为基础衍生了情境理解 (HCOR) 这一数据;用它们共同反映学生对情境的理解、数学转换与表达和应用题目解答的情况。这些数据是学生利用图示获得并运用知识的过程与结果的体现。其中的情境概念、概念关系、等量关系, 代表了学生对题目情境的理解过程;情境理解、数学表达式与成绩代表了题目解答的阶段性或最后结果。学生利用图示解答数学应用题目时, 需要先识别其中的概念、关系、等量关系, 再写出解答问题的数学表达式, 最后计算并得到结果。
 
 
数据的分析主要有三个部分:通过回归分析, 考察图示化学习智慧技能知识时各环节主要思维步骤间的关系;然后通过聚类分组和区别分析, 了解不同群组的情境理解、数学转换和解答结果方面的差异;最后通过良好组和偏弱组中的代表个案比较, 分析在图示辅助下不同水平的学生在哪些方面表现得好或差。基于这些分析, 进一步为以智慧技能类知识代表的图示化知识学习提供启示。
 
三、结果分析
 
(一) 图示化知识学习回归分析
 
 
通过“过程—结果”回归分析, 可以了解图示解答的主要思维步骤中重要的预测因子, 以用其确定图示化知识学习中潜在的问题。图示化应用题目解答至少有三个环节:情境理解, 数学表达, 计算解答。情境理解是图示化学习智慧技能类知识的重点, 涉及知识的掌握与应用。按照完整的解题过程, 回归分析的主要参量名称及其代码有:概念 (CO) 、关系 (CR) 、等量关系 (BR) 、表达式 (MF) 、情境理解 (HCOR) 和成绩 (S) 。其中MF和HCOR被当作自变量和因变量双重身份看待, 涉及的因变量有三个:HCOR、MF和S。分析结果: (1) 以成绩为目标时, “逐步回归”后的结果显示, 其主要预测因子是MF和HCOR。其中数学表达式排位第一, 它能单独解释的变异量达到0.981。模型参数中R=0.992, R Square=0.984, F Change=4.609, Sig.F Change=0.042。常数项不显著, 最终回归关系记为:S=8.787*HCOR+26.868*MF。显然, MF是决定解答结果/解答成绩的最重要的环节 (0.981) 。 (2) 以数学表达式 (MF) 为目标时, “逐步回归”后的结果显示, BR是数学表达式的重要预测因子。模型参数中R=0.795, R Square=0.632, F Change=41.184, Sig.F Change=0.000。也就是说, 学生对问题情境中BR判断的正确与否, 将在很大程度上 (0.632) 决定其数学表达式的正确性。 (3) 以情境理解HCOR为目标时, “逐步回归”后的结果显示, 在CO、CR和BR中CR被选为情境理解的预测因子。模型参数中R=0.967, R Square=0.935, F Change=344.573, Sig.F Change=0.000。虽然其所用数据相关性很高, 但HCOR的存在对于衡量学生的理解状态与水平有重要意义;此结果也说明语义关系对于理解的重要性。
 
 
结果表明:学生对情境的理解程度及其数学表达式正确性是其利用智慧技能知识解答应用题目的成绩的重要预测变量;数学表达式的重要预测变量是主要等量关系, 而非情境理解———这更说明以情境问题为导向的抽象概念关系梳理的重要性。其中数量对象间的关系和主等量关系分别是完成情境理解和数学表达的重要条件;而数量对象及其相互关系的理解是解答情境问题的基础。
 
(二) 图示化知识学习组间异质分析
 
 
通过聚类分析, 可以了解学生在图示化智慧技能知识学习中相异性最大的群组特点, 以及群组内的同质的、相似的特点。聚类分析中考虑了三种聚类依据:一是学生对问题情境的理解, 使用了CO、CR、BR;二是从问题情境理解到数学表达的转换, 使用了HCOR、MF;三是从情境理解、数学表达到问题解答的完整过程, 使用了CO、CR、BR、MF、S。表1显示了三种聚类结果。聚类采用层次式集群分析法, 经逐次聚合而成。计算中使用了“欧几里得”距离平方法计算观察值的相异程度。
 
 
从表1可见, 如果从学生对情境概念、概念关系和等量关系三方面理解的情况进行分组, 表现良好者15位, 中等7位, 较弱者4位。从情境理解、情境问题数学表达来看, 表现良好者17位, 增加了4号和24号个案, 中等8位, 较弱者1位。如果从情境概念、概念关系、等量关系、数学表达和成绩这些基本数据分组, 其结果分别有22位、3位和1位。当聚类所依据因子增多时, 各组的同质域变宽而区分度相对变弱, 组间的差异性相对明显。在情境理解和问题数学转换两个方面, 中等组与低弱组学生数量相对多;这意味着在这两个方面学生有更大的空间可以提高。无论从哪个聚类依据看, 5、8、14和25号个案的以方程与函数为代表的数学知识应用能力都显得很弱。有必要从情境理解、数学表达和成绩表现三个方面对个案的异质性作进一步分析。这里通过区别分析了解在情境理解、数学表达和成绩表现几个方面不同组的学生有何异质性。
 
 
表1 聚类分组结果     下载原表 
表1 聚类分组结果  
注:数字表示个案的顺序编号;括号内的数字表示共有多少个案。
 
1. 情境理解异质分析
 
 
把情境理解按其得分“聚类”编为三组。情境理解良好组包括三个个案:10、13、22;它们属于表1中的“良好”组。“情境概念”“概念关系”“等量关系”对“情境理解”应该有显著的区别作用, 因为情境理解的情况理论上就取决于这三者。检验结果见表2。
 
 
表2 基于CO、CR、BR的HCOR区分结果     下载原表 
表2 基于CO、CR、BR的HCOR区分结果  
 
从表2看, 情境理解方面表现优良者3位, 中等者13位, 表现偏弱者10位。组共变异数相等的假设检验, Box’s M值=10.467, 转换成F值为1.463, P=.187, 未达显著水准, 接受虚无假设, 组共变异数相等, 符合区别分析的假定。所产生的两个典型区别函数, 特征值分别为5.575, .014, 它们能解释的变异量分别达到99.7%, 0.3%, 各自的典型相关系数分别为.921和.118———表示区别分数与级别间关联的程度。由检验报告可知, 两个区别函数中第一个达到显著, 其Wilks’s A值为.150, 卡方值为41.738, 自由度为6, 显著水平为.000。可用于情境理解区别的函数:D1=-.470*概念辨识率+1.247*关系辨别率+.267*等量关系识别。
 
 
报表中的矩阵说明, 区别函数中情境概念、概念关系的辨别率与区别函数的相关度很高, 它们对情境理解的影响很大。在第二个区别函数中等量关系对情境理解的影响较大, 但是此函数整体上不显著。所以, 可用第一个区别函数主要参考“概念关系”“等量关系”“情境理解”对个案进行区别, 尤其是“概念关系”。
 
2. 成绩表现异质分析
 
 
从最终成绩来区分学生图示化学习方程与函数知识的异质性, 是了解此学习价值的最后一步。情境概念、概念关系、等量关系、数学表达和成绩被用于区别分析操作之中。按成绩把个案分成三个等级:33~40分编组为1, 17~32分编组为2, 0~16分编组为3。这里按教学实际要求手工分组。
 
 
结果显示, 整体表现良好者7位, 中等者18位, 偏弱者1位。组共变异数相等的假设检验显示符合区别分析的假定。统计后显著的区别函数, 其特征值为3.664, 其能解释的变异量达到92.4%, 典型相关系数为.886———表示区别分数与级别间关联的程度。由检验报告可知, 显著区别函数, 其Wilks’s A值为.165, 卡方值为38.752, 自由度为8, 显著水平为.000。可用于成绩表现区分的函数:D1=.332*概念辨识率-.313*关系辨别率-.273*等量关系识别+1.124*数学表达正确率。
 
 
报表中的矩阵说明, 数学表达的正确程度与此标准化典型区别函数的相关显著性很高, 相关值达0.977。它对最终解题成绩的影响很大。可以用此函数并主要参考“情境概念”“数学表达”“成绩”对个案进行区别, 尤其是数学表达式的正确率对区别函数的影响最大。
 
(三) 图示化知识学习组间个案异质比较
 
 
透过良好组与偏弱组个案代表在图示化学习方程与函数知识时的表现, 可以了解不同组别学生在图解应用方面的特点, 以为后续图解设计与实施之用。个案抽样结果为:良好组个案编号:10, 13, 22, 偏弱组个案编号:5, 14。
 
1. 异质组个案得分分析
 
 
从代表性个案数据看, 良好组代表个案与偏弱组代表个案在图示化习得与应用中不同指标上的测试结果迥异。具体得分见表3:
 
 
表3 良好组与偏弱组代表个案图示解题的得分情况     下载原表 
表3 良好组与偏弱组代表个案图示解题的得分情况  
 
从以上个案的图示化学习数据看, 良好个案之所以表现良好, 在于其融通图示与题意的能力。无论是用图示表征题目信息, 还是在概念与关系上的识别与梳理, 都能表现良好;偏弱组个案则正好与之相反。而且, 两组个案对图示设计材料的关注使用情况也不尽相同;良好组对其依赖少而弱, 而偏弱组对其依赖相对多而强。但是, 两组都对图示化学习这部分知识持积极肯定态度。
 
 
比较而言, 作为应用题目解答的基础, 在情境概念及其关系的辨识与梳理方面, 良好组个案的概念识别与图示化梳理的正确率要高出偏弱个案约4倍。在对情境的抽象建模方面, 偏弱组个案远远不及良好组个案, 数据表现差不多只是优良生的1/4。而良好组个案在情境理解方面也有进一步提高、强化的空间———HCOR的高敏性表明这一点。这些结果透露, 只有把情境中相关联的概念及其关系, 以及问题引领的等量关系理清楚, 才能充分地理解情境, 并完成题目问题的概念建模与数学建模。从成绩代表的整体图示化解题表现来看, 偏弱组个案除了在非常熟悉的题目中能拿到与良好组个案相当的分数, 其他题目的解答情况远不及良好组个案。
 
 
从各题目解答的情况来看, 概念及其关系辨别是两组学生表现大为不同的地方, 而这是图示化解答文字描述的题目的基础。情境“生疏”时, 良好组个案可以其语言能力对概念及其关系进行解析而维持相对好的解题水平, 而偏弱组个案的表现变得更差, 等量关系与数学表达式正确率也大大下降, 见题二。对于配有几何图形的情境问题解答, 良好组个案的表现要强于偏弱组个案至少2倍, 见题三。这差距增大的情况可能出于转换类型的不同 (这是从图形到题意, 而其他是从文字到题意) , 也可能由于全部解题时间过去一半。到最后一道题目时, 良好组个案仍然可以保持良好的解题表现, 而偏弱组个案显得没有“还手余力”, 见题四。这也表明偏弱个案的数学学习力不够, 前面的题目已经消耗其太多耐心和精力。
 
2. 异质组个案解答分析
 
 
从两组代表个案的题目解答情况来看, 良好组个案卷面上的解答显得简洁、清楚。图示表征的信息少而清楚;等量关系、数学表达式和计算结果也呈现得清晰明了。可以看出, 良好组个案的卷面作答并不“纠缠”或只尽力于“图解题意”部分。而偏弱组个案的卷面作答空白较多;熟悉题型作答相对完整;其图解表征中存在不正确的地方;卷面更改痕迹也多。
 
 
从数据和卷面可以推断, 良好组个案在作答中能同时把握较偏弱组个案相对多的数量及其相互关系, 而且对情境的抽象把握能力较强。在题目的连续作答中, 有更强的持续作答能力。具体来说, 良好组个案更长于把性质相关的数量与性质相近的数据区分清楚, 也能把情境中的数量关系在问题引导下梳理出来, 并运用所学方程与函数等知识将它们转化为数学表达。而偏弱组个案在“图示表征”中呈现信息时有错误存在, 或题目中没有图解表征, 或等量关系梳理不全或空白;只有非常熟悉的题目, 如与例题题型相同的题一, 才能写出相对完整的等量关系、数学表达式, 并完成结果计算。题目作答过半后, 空白作答增多。
 
 
基于以上比较, 在图示化智慧技能类知识掌握与应用中, 学生对概念及其关系的理解能力是重要基础。它需要文字解读技能支持。而从图示方法与图示材料的使用倾向看, 图示方式对于中等、偏弱组的学生更有意义。但是, 需要用适合他们的策略与设计帮助其掌握与应用。根据对学情和学习过程的分析, 符合学生情境经验及其所积累主题知识的相近与相关关系法则的应用, 是帮助学生图示化掌握并应用知识时值得考虑的着手点。
 
3. 异质组个案体验分析
 
 
从两组代表个案的体验反馈来看, 良好组中3人中有2人在学习中留心并使用了图示方法, 在偏弱组中2人都有关注与使用;对于图示方法的使用倾向整体相当, 均为0.89。
 
 
在图示化学习期间对图解设计材料的使用方面, 良好组个案有1人关注情境概念图解材料 (喜好倾向0.444) , 2人关注了知识概念图解 (喜好倾向0.611) ;3人都没有关注过符号集和图示解答案例集。3人对使用图解设计材料的整体倾向为0.583。偏弱组代表的2人都关注了情境概念图解 (喜好倾向0.778) 、知识概念图解 (喜好倾向0.722) , 1人关注了方程与函数符号集 (喜好倾向0.889) , 没有人关注图示案例集。2人对使用图解设计材料的整体倾向为0.741。整体上, 偏弱组代表对图示设计材料使用的种类相对多、倾向性要高。这意味着图示材料的设计与使用对于中等、偏弱组来说, 更具有内需性。实际上, 就解答情况看, 良好组代表在遇到比较“棘手”的问题时, 用图示辅助也非常有用。
 
 
在图示方法与图示材料对高阶认知作用的认识方面, 良好组代表的态度倾向没有偏弱组代表高, 见表4。在图示相应的四项功能中, 仅第一项功能, 即“A整体理解与掌握题目”得分最高, 为0.583。这可用以说明两点: (1) 良好组个案更倾向于借助图示强化对题目的整体把握; (2) 相对于偏弱组, 良好组个案对图示方法与材料的依赖相对偏少。从各功能条目倾向得分来看, 良好个案的评价中最低倾向值是B3项的0.33。它是指图解帮助学习者获得新知识, 如方程知识的应用。最高者有五项, 倾向系数都高于0.67。这些条目都与对情境问题的思考、题目信息的理解与处理、相应知识的回忆与应用有关, 如:“帮助我组织我知道的与应用题情境相关的内容并意识到这些”“帮助我清晰地呈现我用方程知识答题的分析与想法”。这说明良好个案在图示应用中更多聚焦于思考与应用。
 
 
表4 个案就图解方法与图解设计对高阶认知作用的态度倾向     下载原表 
表4 个案就图解方法与图解设计对高阶认知作用的态度倾向  
 
对于偏弱组个案, 其在图示助力高阶认知的四项功能方面的评价, 整体上高于良好组个案, 见表4。尤其是B和C两个方面, 倾向系数都达到0.792。这似乎正好与良好组个案的情况相反。相对于对题目整体的把握以及进一步在情境中应用知识, 偏弱个案更关心图示辅助下的信息加工和知识利用。同时, 这也反映出其对图示方法与图示材料相对高的期望。从各问题的分值来看, 偏弱个案的评价中最低倾向值为0.5。它指示学习者对情境相关内容及所学相关知识的联通性, 如“帮助我组织我知道的与应用题情境相关的内容并意识到这些”。倾向性最高值为0.88, 有三项;它们指示所学知识与情境信息的整合、新旧知识的联系、情境理解及其数学表达等, 如“帮助我告知他人应用题情境的理解及其数学表达, 并帮助解释它们”。两组个案在四个方面所表现的差异也说明图示作用在不同情境下的差异性[9]。
 
 
在两组代表就图示方式的未来行为意向方面, 良好组个案的倾向性依然显得相对谨慎, 倾向系数 (均值0.56) 偏低于偏弱组个案 (均值0.71) 。各题项中倾向性最高者是“会在学习中经常练习并运用‘概念—关系’的方法” (良好个案:0.83, 偏弱个案:1.00) ;对图示方式的偏好, 位居第二 (良好个案:0.67, 偏弱个案:0.75) 。也就是说, 两组代表个案对图示方式都持积极肯定的态度。然而, 有意思的是, 虽然学生对图示方式很看好, 但为之付出行动的倾向却并不充足, 对寻找并使用有帮助的图示化工具、绘制自己需要的图示材料等的意向并不强烈。也许, 这是因为要付出更多的时间与精力。
 
四、讨论与启示
 
 
图示化是如何在智慧技能类知识学习中影响不同水平学生, 作用于异质性学习结果的, 这对实践又有何启示。
 
(一) 图示化学习对异质学习结果有影响
 
 
在图示化智慧技能知识掌握与应用中, 正确的解答过程预示着正确的结果。如果有正确的结果, 是否意味着就有正确的过程呢?由于图示应用中的解题过程以朴素的认知过程为基础, 涉及逻辑、自然语言与数学语言, 这里认为学生对特定情境问题将在图示解答中更多地出现个体性偏移。所以, 要在图示化学习智慧技能的教学指导中对这些偏移有良好的指导, 可以重点关注如何理解关键的、生疏的情境信息, 以及情境概念关系、等量关系、数学表达式等因子。即, 按需要设计并合理运用图示[9]。
 
 
图示化的价值在于帮助学习者理解意义单元、梳理关系、组织信息、简单化思考过程等。通过情境理解系数, 以及情境理解、数学表达式正确程度与测试成绩间的关系的考察, 可以确定图示方法的过程与结果效标。据测算, 图示方法在应用过程中的整体效力 (表现为对情境理解的帮助) 为0.481, 在应用结果上的效力 (表现为对情境问题的解答的作用) 为0.692。通过图示材料使用倾向、情境理解和数学表达式的关系, 以及图示材料使用倾向与成绩的关系, 确定图示材料对于学习过程与结果的效力。据测算, 图示材料在应用过程中的整体效力为0.602, 在应用结果上的效力为0.648。再者, 各异质组对图示化方法持肯定态度, 且偏好系数较高, 为0.89;对所设计图解材料也能根据自身情况积极选用。所以, 图示化对异质学习结果确有潜在影响, 其作用的发挥在于, 图示是否在个体学习中引起异质表现的主要因子上起到有效的支撑作用。
 
 
所以, 判定个体图示化学习中的异质因子就显得格外重要。而后可以在如何设计并使用图示材料与方法方面做充分工作以利实施。
 
(二) 图示化学习对于中等、偏低学习者更有帮助
 
 
图示化以其具象、结构化特点, 可以帮助学习者梳理信息、理解知识、组织内容等;这在智慧技能知识应用的题目解答中很有帮助。已有研究也已说明图解对于发展学习者抽象与逻辑思维能力的实践应用价值[10]。然而, 数据是说明这些观点的依据, 而且可以透露更多细节。通过以上数据分析, 很明显的发现是:图示化学习对中等、偏低学习者更有帮助。
 
 
良好组学习者对情境问题的图示化表征率高出偏弱组4倍, 情境理解也强于偏弱组3.7倍, 数学表达与最终成绩也高出2倍之多。所以良好组的情境抽象把握能力较强, 能更好地区分量之性质及其关系, 并运用数学知识转换、解答。相应地, 良好组对所设计图解材料的关注与使用比起偏弱组来显得量少, 倾向性也低 (0.583 vs.0.741) 。所以, 两组在图示表征与题意理解间的融通能力不同。无论是用图示表征题目信息, 还是在概念与关系上的识别与梳理, 良好组都能表现良好;而偏弱组只局限于学习过的、熟悉的应用问题。良好组对图示材料依赖少而弱, 而偏弱组对其依赖相对多而强。不过, 图示方法得到不同水平学生的肯定, 倾向系数都达到0.890。
 
 
所以, 可以认为图示化学习对于中等、偏弱水平的学习者意义更大。这在后续研究中值得进一步聚焦、探索。值得注意的是, 对于良好组而言, 在情境图示表征与语义理解方面也可以进一步提高。这将对解答生疏情境问题、有难度的情境问题非常有利。
 
 
根据对学情和学习过程的完整分析, 针对偏弱、中等水平的学习者, 符合其情境经验和其所积累的主题知识的相近与相关的关系法则的应用, 是在学生图示化掌握并应用知识时值得考虑的着眼点。在以智慧技能类为代表的知识掌握与应用中, 实际实施往往侧重于知识学习的横向互联, 而忽视了或者少有情境问题与知识运算的纵深考虑。以学生的情境经验与主题知识为基础, 着手图示设计与应用, 当是扩大学生知识与经验网络、延展其认知与思维边际的重要手段。
 
(三) 图示化学习应用需要靶向重要的异质因子
 
 
知识学习的目的, 是在提高器质性心智功能的同时, 在生产生活实践中提升知识的利用与创造水平和价值。教育教学视域下的知识学习, 就是要帮助学习者在这方面做得更出色。图示化知识学习之所以可以成为助益这方面的重要手段, 是因为它受到主体的认知发展的规律的支持[6], 而且其相应的图示方法对心智操作有指导意义[8]。
 
 
从前述研究分析可见, 学生的学情与学习水平并不一样。那么图示化学习知识的过程就需要有符合主体需要的特定指向。图示化学习智慧技能知识时有两个要点:一是以图所示之义的准确性与所示之法的特性, 这是指对意义的图示 (包括信息的实际意指、信息间的关系、知识的内涵) 应该是准确的、能为学习者理解的、理解成本较低的;二是以图所示之处的正确性, 这是指对意义的图示是为了辅助学习者认知与思考, 即它是学习者所需要的, 它应当通过辅助与简化等帮助学习者, 使其问题解答过程变得更容易正确。所以, 图示的应用首先要有正确的靶向。
 
 
数据表明, 偏弱、中等水平者, 在情境概念及其关系的辨识中非常虚弱。这对于情境理解非常不利, 进而影响了情境问题的数学转换与表达。分析显示, 情境理解对于数学表达表现的解释率 (0.632) , 数学表达对解答成绩解释率要高于其1.5倍。充分的情境理解, 对于偏弱、中等水平学习者正确转换情境问题为数学表达非常重要, 因为后者几乎直接决定问题解答结果。而在理解情境时, 更要关注信息关系的梳理;在问题的数学表达中, 以问题引导的主要等量关系的判定为首, 其次是运用数学知识与符号将信息关系标记、表达出来。
 
 
而且, 在图示化学习方程与函数知识的同质与异质区别分析中, 情境理解、数学表达和成绩结果三方面的良好组、中等组和偏弱组人数各不相同。这虽然与统计过程有一定关系, 但也在一定程度上表明, 同一学习者在图示化解答特定题目时, 在不同环节所表现的水平也存在差异。这也意味着, 即使一道题目按传统方法解答正确了, 也不表示对题目的理解与解答是通透、彻底的, 尽管这可能通过反复训练得到改善。如果用图示的方法将解答的环节与步骤能尽数展现, 就能做到理解与解答的通透、彻底, 即学习者对所学完全掌握, 进而更可能灵活运用。
 
 
若能如此, 即使在情境变“生疏”时, 偏弱、中等水平学生有可能在图示方法与操作的辅助下通过努力更完整地理解情境、正确梳理情境信息关系、找到主要等量关系并顺利转换情况问题为数学表达;理想情况下也有可能通过努力展现近乎良好水平学生的解题水平。尤其是在情境理解、其相应的抽象建模方面, 如果能通过图示辅助将偏弱、中等水平的学习表现缩小到与良好水平者现有差距的1/2、2/3或3/4, 那么将意味是图示应用的成功。从现有研究看, 在可视化、图示的实际应用中需要更多更好的异质区分与靶向应用;即使对于各环节表现良好的学习者, 图示依然可以用来帮助其提高情境理解及抽象建模能力。
 
五、结语
 
 
如果知识掌握与应用以学习主体对意向诸物的时空特性的整合为归结, 并完结于其心智映射, 那么图示化知识学习的要旨, 就是以图示方式辅助学习主体完成这一过程并推进主体心智进步。在这一过程中, 由于学习个体的感官与官能张力得到更大程度的释放, 其心智能力在可视方式的作用下更容易得到发展并趋于完善。正因如此, 定向多元发展路径上的异质因子、靶向准确的发展需要, 是图示方式充分发挥辅助作用的前提, 也是发挥其功能的地方。就像图示化学习智慧技能类知识的异质分析一样, 它有助于图示在知识学习应用中的后续定向与设计。
 
 
知识学习中的认知与思维是简单的, 因为其中“信息/知识—同化/顺应—应用/创新”的基本路径是稳定而清晰的;同时, 它也是丰富而复杂的, 因为自然状态下的原生性认知可以不受已有模式的约束。图示化在简单而丰富的知识习得与应用中, 如果能将之多态多样地灵活运用, 它可以扮演更为令人满意的角色。当然, 图示作为学习中的一种手段并不万能。在知识学习与问题解决中, 往往需要主体多种技能一起发挥作用。比如, 学生图示化掌握并应用方程与函数知识时, 也涉及逻辑、语言等技能, 其转换情境理解为求解问题的数学表达式时, 就不单纯是概念建模或数学知识回忆的问题。图示可用于其中各技能的习得与应用;而要在复杂情境问题中综合应用, 还需要通过熟练而灵活的运用技能来增加助益。
 

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文章名称:图示化解答数学问题的异质分析及其应用启示

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